LFI1 : Cours Algèbre : Espaces vectoriels

Cours Algèbre : Espaces vectoriels

Définition: Soit K un corps. La définition des espaces vectoriels repose sur la structure de corps mais le lecteur peut lire K comme le corps R des réels ou celui, C, des complexes. Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois :

• une loi interne « + » : E² → E, appelée addition ou somme vectorielle,
• une loi de composition externe à gauche « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire,

telles que les propriétés suivantes soient vérifiées.

1. La loi « + » est commutative et associative. Elle admet un élément neutre, pouvant être noté 0 ou 0_E, appelé vecteur nul. Tout vecteur v a un opposé, noté -v. Autrement dit, (E,+) est un groupe abélien. Pour tous vecteurs u, v et w de E :

u+v	=	v+u	u+(v+w)	=	(u+v)+w
0E +v	=	v	u+(-u)	=	0E

2. La loi « • » est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E, distributive à droite par rapport à l'addition du corps K, et associative à droite par rapport à la multiplication dans K. Enfin, l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1, est neutre à gauche pour la loi externe « • », c'est-à-dire que l'on a les identités suivantes pour tous vecteurs u, v de E, et pour tous scalaires λ, μ :

λ •( u + v )	=	( λ • u ) + ( λ •v )	( λ + µ ) • u	=	( λ • u ) + ( µ • u )
(λμ) • u	=	λ • ( µ • u)	1 • u	=	u

De l'axiome 1, il découle que E est nécessairement non vide. Les axiomes 1 et 2 impliquent que 0_E est « absorbant à droite » pour la loi • (i.e. le produit de 0_E par un scalaire quelconque vaut 0_E) et que le produit d'un vecteur quelconque de E par le scalaire 0_K (l'élément neutre additif du corps K) vaut aussi 0_E. Enfin, -v (l'opposé de v) est le produit de v par le scalaire -1, ce qui résulte de la propriété précédente et de l'axiome 2. On a donc pour tout vecteur u de E et tout scalaire λ :

0K • u

=

0E

λ • 0E

=

0E

-1 • u

=

-u

Si K = Q, R ou C, on parle respectivement d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe. Les vecteurs (éléments de E) ont été ici écrits avec des lettres latines italiques, mais certains auteurs les notent par des lettres en gras, ou les surmontent d'une flèche.

Les espaces vectoriels sur K sont aussi appelés espaces vectoriels à gauche sur K. Les espaces vectoriels à gauche sur le corps opposé à K (la multiplication de K étant remplacée par la multiplication * sur K définie par λ * μ = μλ) sont appelés espaces vectoriels à droite sur K. La multiplication par un scalaire étant alors notée à droite (u • λ), les espaces vectoriels à droite sur Ksont alors définis comme les espaces vectoriels (à gauche), sauf que l'axiome (λμ) • u = λ • (μ • u) est remplacé par l'axiome u • (λμ) = (u • λ) • μ. Si le corps K est commutatif (ce qui est le cas si K est le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes), les notions d'espaces vectoriels à gauche et à droite coïncident, et on peut alors noter à gauche ou à droite (au choix) la multiplication par un scalaire.(D'aprés Wikipedia )

Lien du cours:https://docs.google.com/file/d/0B8aGrlsGpwdWZVlQcWFDS3hZZ2c/edit?usp=sharing ( cours du prof faculté des sciences de monastir)

Autre lien:http://www.ilemaths.net/maths_p-espaces-vectoriels-applications-lineaires.php (trouvé sur net)